이토적분 Ito integral 에 대해 알아보자

이토적분에 대해 알아보자. 본문으로는 Ito integral이라고 한다. 이토적분은 말그대로 적분이다. 그런데 위너프로세스에 대해 임의의 stochastic process를 적분하는 형태이다. 이토적분을 이용해서 확률미분방정식 영어로는 stochastic differential equation 줄여서 sde라고 하는 것을 정의한다. sde의 응용은 너무나도 많다. 금융공학에서는 많이 쓰였고 최근에 디퓨전 모델을 기술하기 위해 sde를 사용한다. sde의 응용을 제대로 알려면 sde를 알아야겠고 sde를 제대로 이해하려면 이토적분을 알아야 한다. 이번 글에서는 이토적분에 대해 알아보자.

 

이토적분 공부하기 전에 알아야 할 것

이토적분을 공부하기 전에 wiener process가 무엇인지는 알아야 한다. 그리고 wiener process 관련된 내용들도 알아야 한다. 아래의 그 내용들이 있다. 꼭 공부하고 오도록 하자. 

[확률미분방정식] - 가우시안 분포 (Gaussian distribution)의 pdf(probability density function) 단변수부터 다변수 까지

[확률미분방정식] - 확률론에서 independent 의 정의 random variable, random vector에 대하여

[확률미분방정식] - 위너프로세스 Wiener process의 정의 단변수 다변수까지

이토적분 정의하기: 1변수의 경우

1변수 wiener process $w_t$가 있다고 하자. $t$는 $[0,T]$에서 정의되어있다. 그리고 1변수 값을 가지는 stochastic process $G(t)$가 있다고 하자. $s<r$인 $s , r \in [0,T]$가 있다고 하자. 이제 $[s,r]$에서 $G(t)$에 대한 이토적분을 정의하도록 하자. 적분을 하기 위해 $[s,r]$ 사이의 partition $\Pi=\{t_0,t_1,...,t_N\}$을 정의하자. 여기서 $s=t_0 < t_1 <...<t_N=r$이다. 이때 $[s,r]$에서 $G(t)$의 이토적분은 아래와 같이 정의된다. 여기서 $|\Pi| = \max_{i=1,2,...,N} (t_{i}-t_{i-1})$

$$ \int_{s}^r G(\tau) dw_\tau = \lim_{|\Pi|\to 0 } \sum_{i=1}^N G(t_{i-1}) (w_{t_{i}}-w_{t_{i-1}}) $$

위의 식에서 주목할 점은 각각의 $[t_{i-1},t_i]$에서 $G(t)$는 $[t_{i-1},t_i]$위에서 어떤값을 가져도 되지만 왼쪽점을 가진다는 점이다. 

이토적분 기호 정리: 1변수의 경우

$t$의 범위가 $[0,T]$라고 명확하게 있다고 하자. 그리고 $s<r$이 $s,r\in [0,T]$의 임의의 원소라고 하자. 어떠한 $s,r$에 대해서 $\int_{s}^r G(\tau) dw_\tau$가 정의된다고 하자. 그러면 기호로 아래와 같이 쓰곤 한다.

$$ G(\tau) dw_\tau$$

$G(\tau) dw_\tau$는 $\int_{s}^r G(\tau) dw_\tau$그 자체라고 정의해도 되는것이다.

이토적분 정의하기: 다변수의 경우

이제 다변수에 대하여 이토적분을 정의하자. 다변수 위너프로세스 $\mathbf{w}_t = (w_t^1,..,w_t^d)$가 있다고 하자. 그리고 $m \times d $차원을 갖는 stochastic process $\mathbf{G}(t)$가 있다고 하자. $\mathbf{G}(t)$의 $i$번째 행 $j$번째 열의 원소도 stochastic process인데 $i$번째 행 $j$번째 열을 $G(t)_{ij}$라고 표시하자. $t$가 $[0,T]$일 때 다변수 이토적분은 위의 1변수 이토적분을 이용해 기호로써 아래와 같이 정의되고 

 

$$\mathbf{G}(t) d\mathbf{w}_t $$

 

각각의 coordinate는 아래와 같다.

$$(\mathbf{G}(t) d\mathbf{w}_t )_{ik} = \sum_{j} G(t)_{ij} dw_t^j$$

 

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