Jump process의 구성요소 intensity, jump measure, jump kernel

이번 글에서는 jump process에 대해 알아보자. jump process를 구성하는 요소에는 intensity, jump measure 그리고 jump kernel이란 것이 있다. 이것들을 이용해서 state가 갑자기 불연속적으로 jump하는 것을 모델링 할 수 있다. 그러면 이제 이 글의 본론을 시작해보도록 하자.

 

Jump process란?

jump process에 대해 알아보자. 이번 글에서는 contiuous state를 갖는 continuous time jump process라 하자. continuous state라는 것은 가질수 있는값이 $\mathbb{R}^d$라는 것이고 continuous time 이란 것은 jump process가 정의된 index set이 $[0,T]$등의 interval로 주어진다는 것이다. jump process란 어떤 구간 $[0,T]$에서 정의된 stochastic process $X_t$이고 continuous state를 갖는다는 가정을 했으니 $X_t \in \mathbb{R}^d$가 되겠다. jump process란 $X_t$에서 $t$가 이동함에 따라 $X_t$의 state가 가만히 있다가 갑자기 jump 해서 state를 갖는 process를 말한다. 이것을 제대로 정의하기 위해서는 jump 할 빈도가 필요하고 jump 할때 어디로 갈것인지 알려주는 것이 필요하다. jump 할 빈도는 intensity를 이용해 표현하고 jump해서 어디로 갈지는 jump measure, jump kernel을 이용해 표현한다.

 

Intensity란?

Intensity란 무엇일까 jump process $X_t$가 있다고 하자. 어떤 특정 시점 $t$에서 $X_t=x$라고 하자. 이제 time index $t$가 흘러감에 따라 $X_t=x$는 그대로 머물수도 있고 jump해서 다른 state로 갈수 있다. 그러면 $t$가 흘러감에 단위시간당 몇번이나 점프가 일어날 것인가? 이것을 나타내는 수치가 intensity이다. 기호로는 $\lambda(t,x)$라 쓴다. 

 

Intensity를 이용한 jump process정의

intensity를 이용해서 jump process의 확률적인 정의를 만들어낼수 있다.$h>0$가 굉장히 작은숫자라고 하자. 그랬을때 아래와 같이 jump를 할 확률을 정의할 수 있다.

$$P(\text{ jump in } [t,t+h] | X_t=x) = \lambda(t,x)h + o(h)$$

아주 작은 $h>0$만큼 움직일 jump가 일어날 확률은 intensity와 $h$곱을 따르게 끔 jump process를 정의할 수 있다는 것이다. 이렇게 하면 jump가 일어나질 확률도 모델링이 된다.

 

$$P(\text{ no jump in } [t,t+h]|X_t=x) = 1- \lambda(t,x) +o(h)$$

 

Jump measure의 정의

이제 jump measure를 정의해보자. jump measure는 jump가 발생했을때 어디로 움직일지를 결정하는 확률분포라고 생각해보자. $X_t$라는 jump process가 있고 이것의 intensity는 $\lambda(t,x)$라고 하자. $Q_t(dy;x)$를 $X_t=x$인 jump process가 $t$에서 발생할시 $X_t$가 어디로 바뀔지 나타내는 확률분포를 나타낸다.  $Q_t(dy;x)$를 jump measure라고 부른다. jump measure라고 부르는 이유는 적분을 하면 1이 나올필요 없기 때문이다. 그리고 중요한 성질은 적분하면 intensity가 나온다는 점이다.

 

$$\lambda(t,x) = \int Q_t(dy;x)dy$$

 

Jump kernel의 정의

이제 jump kernel을 정의하자. jump measure의 normalization version이라 보면 된다. jump measure는 적분해서 1이 안나올수도 있어서 probability measure가 아닌다. 대신에 이것을 normalization해서 probability measure $J_t(dy;x)$를 만들 수 있다. normalization  하려면 $\int Q_t(dy;x)$를 알아야 하는데 이것은 intensity $\lambda(t,x)$이다. 따라서 $t$에서 $x$인데 점프가 일어났을때 변하게 될 state에 대한 probability measure는 jump kernel이라 정의하고 아래와 같다.

$$J_t(dy;x) = Q_t(dy;x)/\lambda(t,x)$$