random vector의 pdf의 change of variable, 랜덤벡터의 확률밀도함수의 변수변환

random vector의 pdf의 change of variable, 랜덤벡터의 확률밀도함수의 변수변환에 대해 알아보자. 어떤 확률벡터가 있다고 하자. 여기에 어떤 변환을 작동하여 또다른 확률벡터가 나온다 하자. 그러면 확률밀도함수도 변할것이다. 이랬을 때 확률밀도함수를 웬만한 경우 구할 수 있고 공식이 있다. 이것을 확률밀도함수의 변수변환이라 한다. 이번 글에서는 랜덤벡터가 변할때 이것의 pdf가 어떻게 변하는지 보도록 하고 이것을 change of variable of pdf라고 부르도록 하자.

 

random vectore의 probability density function의 change of variable

다시 본론으로 들어와서 random vector의 pdf의 변수변환에 대해 알아보도록 하자.

확률벡터 $X$가 있다고 하자. $X \in \mathbb{R}^n$이라 하자. 어떠한 미분가능한 1:1 함수 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$가 있다고 하자. 확률벡터를 $Y=f(X)$라 정의하자. $X$의 pdf를 $p$라고 하자. $Y$의 pdf를 $q$라고 하자. $q$를 $p$에 대한 식으로 서술 하려고 한다. 어떻게 하면 될까? $h$를 임의의 실함수라고 하자. 그랬을 때

$$E_q[h(Y)] = \int h(y) q(y) dy $$

정의상 이렇고 $Y=f(X)$라는 사실을 이용하여

$$E_q[h(Y)] = E_p[h(f(X))] = \int h(f(x)) p(x) dx$$

이다. 위의 식에서 $y=f(x)$이라 하면 $dy_1dy_2...dy_n= |\partial f /\partial x | dx1 dx2 ... dxn$이다. 이점을 이용하면 위와 같이 $$E_q[h(Y)] = \int h(y) p(f^{-1}(y)) |\partial f /\partial x |^{-1} dy$$이다. 여기서 $h$는 임의의 함수이고 $E_q[h(Y)]$를 계싼하는데 $ p(f^{-1}(y)) |\partial f /\partial x |^{-1} $가 무조건 나온다. 따라서

$$q(y)= p\big(f^{-1}(y)\big)\left| \frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{x = f^{-1}(y)}\right|^{-1}= p\big(f^{-1}(y)\big)\left| \frac{\partial f^{-1}}{\partial y}\right|$$

 

 

 

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