Radon Nikodym derivative 라돈니코딤 미분의 정의

이번 글에서는 라돈니코딤 미분의 정의에 대해서 알아보자. 영어로는 Radon-Nikodym derivative이다. 줄여서 RND라고도 한다. 알엔디... 기술개발과 관려있다. 여튼 이제 시작해보도록 하자. 

 

Radon nikodym derivative의 의미

radon nikodym derivative는 무엇일까? 말그대로 미분이다. 미분의 개념이라 볼 수 있다. 그리고 적분의 변수변환과도 관련있다. radon nikodym derivative 즉 RND는 어떤 확률공간에서 정의되는 미분이다. 어떤 probability measure가 있을 때 또다른 probability measure에 대한 미분이라 보면 되고 이것을 이용해서 확률미분적분을 할 수 있다. 이제 정의를 보도록

 

Radon nikodym derivative의 정의

어떠한 확률공간 $(\Omega, F, P)$가 있다고 하자. $\Omega$는 set이다. $F$는 sigma field이다. $P$는 probability measure 이다. 그리고 어떠한 함수 measurable function $f: \Omega \to \mathbf{R}^d$가 있다고 하자. 그러면 $P$에 대한 expectation은 아래와 같이 구할 수 있다.

$$E_P[f(w)]= \int f(w) dP(w)$$

근데 $\Omega$위에 probability measure가 $P$만 있을 이유가 없다. $Q$도 있을 수 잇죠. 그러면 $Q$에 대한 적분은 아래와 같이 된다.

$$E_Q[f(w) ] =\int f(w) dQ(w) $$

아 그러면 하나더 생각해볼것이 $P$를 이용해서 $Q$에 대한 expectation을 구할 수 없는것인가? 없긴 왜없나 관찰해보자.

$$E_Q[f(w)] = \int f(w) dQ(w) = \int f(w) dP/dQ (w) dQ(w) = E_P[f(w) dP/dQ(w)]$$

위의 식을 만족하는 $dP/dQ$만 있으면 된다. 많은 경우 이러한 $dP/dQ$가 존재한다. $dP/dQ$를 radon nikodym derivative라고 한다.

 

이걸 이용하면 $P$의 proability measure를 이용해서 아래와 같이 $Q$의 expectation구할 수 있다.

$$E_Q[f(w)]=E_P[f(w) dP/dQ(w)]$$

 

 

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