위너프로세스 Wiener process의 정의 단변수 다변수까지

이번 글에서는 위너프로세스에 대해 알아보자. 영어로는 WIener process라고 한다. Wiener process는 stochastic process 즉 random process이다. 1변수에 대해 정의되고 다변수까지 확장해서 정의된다. 이번 글에서 Wiener process위너프로세스에 대해 1변수 정의부터해서 다변수 정의까지 알아보도록 하자.

 

위너프로세스 공부하기전에 알아야 되는거

글을 본격적으로 진행하기전에 위너프로세스에 대해 공부하기 전에 알아야 되는 내용들이 있다. 그 것들은 아래 글에서 확인하도록 하자.

가우시안 분포 (Gaussian distribution)의 pdf(probability density function) 단변수부터 다변수 까지

가우시안 분포 (Gaussian distribution)의 pdf(probability density function) 단변수부터 다변수 까지

확률론에서 independent 의 정의 random variable, random vector에 대하여

확률론에서 independent 의 정의 random variable, random vector에 대하여

 

 

 

위너프로세스 1변수에 대하여 정의

위너프로세스 1변수 버전에 대해 알아보자. 1변수를 알면 2변수도 쉽게 알아진다. 위너프로세스는 랜덤프로세스 이다. index set은 $[0,T]$정도로 하자. 위너프로세스 기호로는 $w_t$라고 하자. 위너프로세스는 아래의 성질들을 만족하는 $w_t$를 의미한다. 

1. $w_0=0$

2. 어떠한 $s<t$에 대해서 $w_{t-s} \sim N(0, (t-s))$ 

3. 어떠한 $t_0 < t_1 <...<t_m$에 대해서 $\{ w_{t_{i+1}}-w_{t_i}\}_{i=0}^{m-1}$는 독립

 

2번은 variance가 시간이 진행한정도를 따른다는 의미이다. 3번은 wiener process의 각 시점의 차이 즉 변화량이 시간이 겹치지 않다면 독립이라는 의미이다.

 

위너프로세스 다변수에 대하여 정의

이제 위너프로세스를 다변수에 대해 정의하자 $d$차원에서의 위너프로세스 $\mathbf{w}_t$를 정의하자. 여기서 $t$도 $[0,T]$에서 정의된다. $\mathbf{w}_t=(w^1_{t},...,w^d_{t})$라고 쓸 수 있다. 이제 아래의 특성을 만족하면 $\mathbf{w}_t$를 다변수에서 wiener process이다. 

1. 각각의 $i$에 대하여 $w^i_t$가 1변수 위너프로세스이면 $\mathbf{w}_t$를 다변수 위너프로세스라고 부른다. 

2. $\{w_{t}^i\}_{i=1}^d$는 독립이다.

사실 썰렁하다. 1변수에 대해 위너프로세스를 저으이하고 독립적인 위너프로세스를 모으면 다변수 위너프로세스가 정의된다. 너무나도 쉬운이야기.

 

이번글에서는 위너프로세스를 정의했다. 1변수에 대해 정의했다. 그리고 다변수로 확장했다. 1변수 위너프로세스에 대해 이해했다면 다변수 위너프로세스는 더 구하기가 쉽다. 알았니?

 

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