SDE stochastic differential equation 확률미분방정식에 대해 알아보자, ito process

확률미분방정식에 대해 알아보자. 확률미분방정식은 stochastic differential equation의 번역이다. stochastic differential equation은 sde라고 줄여쓴다. sde는 어쨋든 미분방정식이다. ode 즉 ordinary differential equation의 stochastic version 버전이라고 보면 된다. 이번 글에서는 ode의 어떤점 때문에 sde가 탄생했는지 그리고 잘 정의되는지 보도록 하자.

 

sde를 알기전에 알아야 할 지식

sde를 알기 위해서는 이토적분 위너프로세스등에 대한 지식이 있어야 한다. 그것에 관해서는 아래 글을 확인하도록 하자.

[확률미분방정식] - 이토적분 Ito integral 에 대해 알아보자

[확률미분방정식] - 위너프로세스 Wiener process의 정의 단변수 다변수까지

[확률미분방정식] - 확률론에서 independent 의 정의 random variable, random vector에 대하여

[확률미분방정식] - 가우시안 분포 (Gaussian distribution)의 pdf(probability density function) 단변수부터 다변수 까지

 

 

ode란? ode에서 부족해 보이는점

ode에 대해서 먼저 알아보자. ode는 아래와 같은 식으로 표현된다. 여기서 $\mathbf{x}_t$는 $d$차원을 갖는다.

$$ \frac{d\mathbf{x}_t}{dt} = f(\mathbf{x_t},t) $$

위의 식을 보면 $\mathbf{x}_t$는 결국에 어떤 dynamics의 state를 의미하는데 이 state의 변화가 위의 ode를 따른다는 얘기이고 ode를 구성하는 $f$의해서 결정된다. 변화량 변화율이 $\mathbf{x}_t, t$에만 의존해서 deterministic하게 나온다. 훌륭한 방정식이긴 하다. 그런데 실제 자연현상등에서는 deterministic하지 않다. 아래와 같이 noise가 낄 수 있다.

$$ \frac{d\mathbf{x}_t}{dt} = f(\mathbf{x_t},t) + noise $$

그러면 위와 같은 noise는 어떻게 표현 할 수 있을까? $\mathbf{x}_t$가 매순간 변화하는데 매순간마다 noise가 끼는 것을 어떻게 표현할까? 방금 말한것을 표현하기 위하여 sde가 등장한다.

 

sde는 어떻게 정의할까?

그러면 이제 sde는 어떻게 정의할까? sde는 아래와 같은 느낌을 표현하고 싶다.

$$ \frac{d\mathbf{x}_t}{dt} = f(\mathbf{x_t},t) + noise $$

이제 여기서 nosie는 white gaussian noise면 충분할것 같다. white gaussian noise를 $\mathbf{\eta}_t$라고 표시하자. 그러면 정의하고자 하는 sde는 아래와 같이 표현된다.

$$ \frac{d\mathbf{x}_t}{dt} = f(\mathbf{x_t},t) + \mathbf{\eta}_t $$

그리고 하나더 noise가 더해지는데 이 noise가 더해지는 정도가 매 시점 t마다 다를 수 있다. 그러면 아래와 같이 어떤 $\mathbf{G}$라는 함수가 존재해서 아래와 같은 꼴이 될수도 있다는 얘기이다.

$$ \frac{d\mathbf{x}_t}{dt} = f(\mathbf{x_t},t) + \mathbf{G}(\mathbf{x}_t, t)\mathbf{\eta}_t $$

이렇게 하면 그럴 싸하다! 여기서 좌변에 $dt$를 곱해보자.

$$ d\mathbf{x}_t = f(\mathbf{x_t},t)dt + \mathbf{G}(\mathbf{x}_t, t)\mathbf{\eta}_t  dt$$

이 식도 그럴 싸하다. 근데 위의 식에서 $ \mathbf{G}(\mathbf{x}_t, t)\mathbf{\eta}_t  dt$를 주목해보자.

$ \mathbf{G}(\mathbf{x}_t, t)\mathbf{\eta}_t  dt$ 는 적분을 의미하는데 말이죠. 사실 이 적분이 잘 정의되지 않는다. 수학적인 이유가 있다. 그 이유에 대해서는 설명하지 않겠다. 대신에 wiener process $\mathbf{w}_t$의 시점 $t$마다의 차이가 gaussian noise를 따른다 이점을 이용해서 위너프로세스를 이용한 이토적분으로써 sde를 표현한다.

 

$$ d\mathbf{x}_t = f(\mathbf{x_t},t)dt + \mathbf{G}(\mathbf{x}_t, t)d\mathbf{w}_t  \text{ (SDE) }$$

 

이토적분을 이해한다면 위의 적분이 이해가 될것이다.

 

ito process

아래와 같이 sde를 정의했다. 

$$ d\mathbf{x}_t = f(\mathbf{x_t},t)dt + \mathbf{G}(\mathbf{x}_t, t)d\mathbf{w}_t  \text{ (SDE) }$$

그러면 이러한 sde의 solution $\mathbf{x}_t$가 있다고 하자. 위와 같이 sde로 표현되는 $\mathbf{x}_t$를 ito process라고 부른다. 그냥 ito process가 있다면 이것에 대응하는 sde가 있고 sde의 솔루션을 ito process라고 부른다고 알면 된다.

 

 

정리

이번글에서는 sde를 알아봤다. ode로 부터 시작해서 ode의 부족함? 그리고 여기에 stochastic term을 추가하기 추가한 이후 sde를 정의하는 방법에 대해 알아봤다. 감사합니다.

 

 

 

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